Demi-groupe 3x+1

En algèbre et en arithmétique, le demi-groupe 3x 1 est un sous-demi-groupe particulier du demi-groupe des nombres rationnels positifs. Les éléments d'un ensemble de générateurs de ce demi-groupe sont liés à la suite de nombres intervenant dans la conjecture connue sous le nom de conjecture de Syracuse ou conjecture de Collatz ou encore conjecture d'Ulam, conjecture tchèque ou problème 3x 1. Le demi-groupe 3x 1 a été utilisé pour démontrer une forme faible de la conjecture de Collatz, et a été en fait introduit à ce propos par Hershel Farkas en 2005. Diverses généralisations du demi-groupe 3x 1  ont ensuite été construites et étudiées.

Définition

Le demi-groupe 3x 1 est le demi-groupe multiplicatif de nombres rationnels positifs engendré par les nombres rationnels

${\displaystyle 2,1/2,3/5,5/8,7/11,\ldots }$

qui sont, en plus de l’entier 2, les nombres de la forme

${\displaystyle {\frac {2k 1}{3k 2}}\quad }$ pour ${\displaystyle \quad k\geq 0}$.

Ce demi-groupe est relié à la fonction ${\displaystyle T:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ des entiers relatifs définie par

${\displaystyle T(n)={\begin{cases}n/2&{\text{si }}n{\text{ est pair}}\\(3n 1)/2&{\text{sinon. }}\end{cases}}}$

La conjecture de Syracuse affirme que, pour chaque entier positif n, une certaine itérée de la fonction T envoie n sur 1 ou, en d'autre termes, que T^(k)(n) = 1 pour un certain entier k. Par exemple, si n = 7, alors les valeurs de T^(k)(n) pour k = 1, 2, 3, . . . sont 11, 17, 26, 13, 20, 10, 5, 8, 4, 2, 1 et T⁽¹¹⁾(7) = 1.

Le demi-groupe 3x 1 est relié à la conjecture de Collatz par le fait qu'il est engendré par les fractions

${\displaystyle {\dfrac {n}{T(n)}}}$

pour ${\displaystyle n>0}$, puisque ${\displaystyle T(2k 1)=3k 2}$ et ${\displaystyle T(2k)=k}$.

La conjecture de Collatz faible

Notons S le demi-groupe 3x 1. La conjecture de Collatz faible, énoncée par Farkas, affirme que le demi-groupe S contient tous les entiers positif. Le demi-groupe S a la propriété que si T(n) est dans S, alors n est dans S, parce que chaque n/T(n) est un générateur de S. Il en résulte que si un itéré de T(n) est égal à 1, alors n est dans S. Ainsi, la conjecture de Syracuse implique la conjecture faible. La conjecture faible a été démontrée par Applegate et Lagarias. Elle est une conséquence de la propriété suivante du demi-groupe S  : Le demi-groupe S est constitué de l'ensemble des nombres rationnels positifs a/b, avec a et b premiers entre eux, tels que b ≠ 0 (mod 3). En particulier, ce demi-groupe contient tous les entiers positifs.

Le  demi-groupe sauvage (« wild semigroup »)

Le demi-groupe engendré par l’ensemble des fractions T(n)/n ou, de manière équivalente, par 1/2 et les nombres

${\displaystyle {\frac {3k 2}{2k 1}}\quad }$ pour ${\displaystyle \quad k\geq 0}$

est appelé le demi-groupe sauvage (« wild semigroup » en anglais). Par le théorème d'Applegate et Lagarias, il est formé des entiers m tels que m ≠ 0 (mod 3). C'était la « Wild Numbers Conjecture », maintenant démontrée.

Notes et références

• Arithmétique et théorie des nombres