Théorème de Fenchel-Moreau

En analyse convexe, le théorème de Fenchel–Moreau (nommé d'après Werner Fenchel et Jean-Jacques Moreau) ou théorème de biconjugation de Fenchel (ou juste théorème de biconjugation) est un théorème qui donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction soit égale à sa biconjuguée. Ce résultat est à mettre en contraste avec l’inégalité v^,. Ce théorème peut être vu comme une généralisation du théorème bipolaire. Il est utilisé pour prouver la dualité forte (en) (à l'aide de fonction de perturbation).

Énoncé du théorème

Soit ${\displaystyle (X,\tau )}$ un espace de Hausdorff localement convexe, pour toute fonction ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ à valeur dans la droite réelle achevée, on a ${\displaystyle f=f^{**}}$ si et seulement si l'une des conditions suivantes est vraie

1. ${\displaystyle f}$ est une fonction semi-continue inférieure convexe propre,
2. ${\displaystyle f\equiv \infty }$, ou
3. ${\displaystyle f\equiv -\infty }$^,,.

Références

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